Работа Л.А. Петросяна в Санкт-Петербургском университете

В середине 60-х годов появилась острая практическая потребность в математическом моделировании конфликтно-управляемых процессов, развивающихся во времени. Это породило необходимость создания нового направления прикладной математики – теории дифференциальных игр. Оно возникло на стыке классической теории управления и математической теории игр. Об актуальности этого направления говорит и то обстоятельство, что в нашей стране к нему проявили интерес и внесли существенный вклад в его развитие такие известные математики, как академики Л.С. Понтрягин, Н.Н. Красовский, С.Ю. Осипов, Ф.Л. Черноусько и другие. Первые отечественные работы по теории дифференциальных игр появились в 1965 году. Они были связаны в основном с исследованием так называемых игр преследования.

После окончания математико-механического факультета в 1970 г. Петросян Леон Аганесович был оставлен в аспирантуру, где его научный руководитель профессор Воробьев Николай Николаевич предлагает ему заняться дифференциальными играми. В 1965 г. Петросян Л.А. защищает кандидатскую диссертацию на тему «Об одном классе дифференциальных игр преследования», которая была первой диссертацией, защищенной в этой области прикладной математики в СССР. В это же время в Докладах АНСССР вышли две его работы, в которых было построено явное решение игр преследования с «линией жизни». При этом интересно заметить, что построенная в этих работах оптимальная стратегия преследователя (стратегия параллельного сближения) оказалась оптимальной и в других задачах преследования (простое преследование в полуплоскости, простое преследование с двумя преследователями и одним убегающим и др.), которые были также решены автором в последующих работах. Одновременно Петросян Л.А. занимается построением решений дифференциальных игр преследования в общем случае независимой динамики игроков. Здесь им разрабатывается метод инвариантного центра преследования, позволяющий решить задачу в так называемом регулярном случае существования оптимальной программной стратегии у убегающего игрока. Этим методом удается решить ряд конкретных задач и получить явные формулы для функций Беллмана соответствующих игр. К этому времени относится и работа, которая оказалась первой по неантагонистическим дифференциальным играм в мировой литературе. Такой же авангардный характер носят работы, где впервые исследуется дифференциальная игра с неполной информацией, решение которой содержит смешанные стратегии поведения (содержит необходимость случайного выбора управляющих воздействий). Нельзя не упомянуть и о работе, опубликованной в ГДР по докладу, сделанному в Дрезденском техническом университете, которая оказалась первой работой по теории дифференциальных игр, опубликованной на немецком языке. Немецкие работы в этой области появились лишь через 10-15 лет.

Интересными являются и его работы, касающиеся общих динамических игр. Здесь оказалось, что основные результаты о существовании ситуаций равновесия очень мало зависят от аналитических свойств уравнений, описывающих движения игроков, а существенно зависят от состояния информации у участников конфликта о процессе игры. В результате удалось обобщить результаты, касающиеся дифференциальных игр с независимыми движениями на игры, описываемые общими динамическими системами.

С конца семидесятых годов центр тяжести исследований Петросяна Л.А. переходит на неантагонистические дифференциальные игры. Оказалось что прямой перенос принципов оптимальности из статической теории лишен смысла из-за нарушения динамической устойчивости принципов оптимальности. Это обстоятельство было им впервые обнаружено в работах . Позже возможность нарушения динамической устойчивости была замечена и зарубежными авторами, которые использовали вместо введенного Петросяном Л.А. термина динамическая устойчивость термин состоятельность во времени (time –consistency).

Динамическая устойчивость принципа оптимальности заключается в том, что при развитии игры (конфликтно-управляемого процесса) вдоль оптимальной траектории не должно возникнуть такого положения, когда один и тот же принцип оптимальности приводит к формированию различных сценариев развития для игр с различными начальными состояниями на оптимальной траектории, порожденной принципом оптимальности в игре, развивающейся из начального состояния процесса. С точки зрения приложений нарушение динамической устойчивости означало бы невозможность следования одним и тем же принципам при реализации долгосрочных программ в экономической сфере или сохранение долгосрочных договоренностей в сфере международных отношений и в других областях человеческой деятельности. Петросяном Л.А. были предложены процедуры регуляризации классических принципов оптимальности из статической теории игр, которые приводили к построению новых динамически устойчивых и сильно динамически устойчивых принципов оптимальности.

Коротко останавливаясь на сугубо прикладных задачах, необходимо отметить работы по применению задач преследования с «линией жизни» к проблеме защиты неподвижных обьектов, по поиску и обнаружению подвижных обьектов, а также цикл вполне конкретных работ, связанных с созданием и внедрением новых методов расчета распределения капиталовложений по отраслям и направлениям деятельности городского хозяйства. Последние работы выполнялись под руководством члена-корреспондента РАН Зубова В.И.

Хочется также отметить выполненную в 1961 году работу «Сигнальные стратегии и стратегии поведения в одном классе бесконечных позиционных игр». Эта работа, доложенная в том же году на пятом всесоюзном съезде математиков и позже опубликованная, послужила теоретической основой для исследования бесконечношаговых и бесконечно повторяющихся игр, теория которых получила бурное развитие в самое последнее время.

Таким образом, основные результаты, полученные Л.А. Петросяном, могут быть сформулированы следующим образом.

Построена математически корректная теория управления многокритериальными системами (неантагонистические дифференциальные игры), основанная на регуляризации принципов оптимальности, обеспечивающих динамическую устойчивость (состоятельность во времени) процесса развития сложной системы, описываемой дифференциальными уравнениями и общими динамическими системами. Эта теория содержит строгие постановки типичных задач, условия их регуляризации, способы построения искомых управлений, в ней изучены вопросы корректности и реализуемости найденных решений. Полученные в обозреваемом периоде результаты позволяют исследовать конфликтные системы управления различного уровня сложности (двухуровневые, многоуровневые, древовидные, ромбовидные и т.п.), сформулировать методологические подходы к анализу систем управления в разнообразных областях деятельности (экономике, экологии, энергетике, политологии и т.д.). Сюда примыкают работы его учеников Цветковой Г.В., Данилова Н.Н., Кузютина Д.В., Захарова В.В., Ткаченко Г.Г., Томского Г.В., Уланова В.А., Малафеева О.А., Еськовой В.А., Кузьминой Т.И., Гандиляна В.В., Культиной М.В., Сухотиной М.А., Егиазаровой Э.В.

Развита теория конфликтно-управляемых процессов (дифференциальных игр с неполной информацией, не сводимых к процессам с полной информацией). Впервые доказана необходимость исследования смешанных стратегий для достижения равновесия в дифференциальных играх. Обоснован метод выбора случайных управляющих воздействий, и построены решения типичных классов задач с запаздыванием информации. Выделен специальный класс игр - игры поиска, который исследован при различных предположениях об априорной информированности участников, включая случаи дифференциальных игр.

Полученные результаты явились теоретической основой ряда прикладных работ по разработке теоретико-игровых методов поиска и слежения за подвижными надводными и подводными морскими, воздушными и космическими объектами; распределению поисковых ресурсов, размещению систем противодействия и целераспределения, выполненных сотрудниками коллектива в рамках важнейших правительственных проектов. Сюда примыкают работы учеников Петросяна Л.А., Гарнаевой Г.Ю., Зенкевича Н.А., Коха А.А., Слобожанина Н.М., Мирахмедовой И.О., Гарнаева А.Ю., Яшиной М.В., Слободинской Т.В., Оглоблина В.Л., Хачатряна Р.В.

Доказан принцип инвариантного прицеливания для регулярных задач конфликтного управления, выяснены существование и структура оптимального решения, предложены итеративные вычислительные процедуры для нахождения решения в общем случае. Выполнен цикл работ, посвященный задачам оптимального управления при наличии неопределенности, включающий работы по конфликтному управлению в общих динамических системах, системах с распределенными параметрами, импульсно-управляемых системах, системах с фазовыми ограничениями, а также в конкретных задачах простого преследования, где удалось найти решение в явной аналитической форме. Доказаны необходимые и достаточные условия существования программной оптимальной стратегии убегающего игрока. Впервые доказана оптимальность П-стратегии в игре с «линией жизни», которая имеет большое прикладное значение в задачах типа «защиты объекта». Сюда примыкают работы его учеников Чистякова С.В., Ширяева В.Д., Мурзова Н.В., Имберта Т.Х., Воробьева Н.Н., Захарова В.В., Тарашниной С.И.

Особо следует отметить работы его учеников Малафеева О.А. "Доказательство существования равновесия по Нэшу в дифференциальных играх", Чистякова С.В. "Доказательство существования равновесия по Нэшу в стратегиях наказания для дифференциальных игр n лиц", Данилова Н.Н. "Регуляризация принципов оптимальности в кооперативных дифференциальных играх", Томского Г.В. "Построение теории общих динамических игр с полной информацией", Захарова В.В. "Теоретико-игровой подход к проблеме охраны окружающей среды".

С 1974 года Петросян Л.А. заведует кафедрой, а 18 июня 1975 года становится первым избранным деканом факультета Прикладной математики – процессов управления Санкт-Петербургского Государственного университета. Переизбирается в должности декана в 1980, 1985, 1990, 19100 гг.

Л.А. Петросян приглашался для чтения лекций и докладов в Московский Государственный университет, Вильнюсский университет, Иркутский университет, Кемеровский университет, Якутский университет, Ташкентский университет, Ереванский университет. Кроме того, Л.А. Петросян в 1968, 1969 годах читал лекции по «Теории игр и исследованию операций» в Каирском и Асьютском университетах (Египет); в 1974, 1980 и 1983 годах читал курс лекций по теории игр в Гаванском университете, университете Сантьяго де Куба (Куба); в 1979 году – лекции в Гумбольдском и Дрезденском технических университетах (Германия); в 1988 году читал лекции в Загребском, Осьекском, Сараевском, Люблянском университетах и в университете города Сплит (Югославия); в 1990 году – в Калифорнийском университете и университете Пордью (США); в 1991, 19100, 1998 годах – в Токийском университете, университетах городов Осака, Кобэ, Хирасаки и Хиросима (Япония); в 1992 году – в Стокгольском университете и в Стокгольском техническом университете; в 1994, 19100, 1996, 1997 годах - в Гамбургском, Гейдельбергском университетах, Мюнхенском техническом университете и университете города Ульм; в 1994, 1997 годах - в Сеульском университете и университете города Тегу (Корея); в 1994, 19100, 1996, 1997 годах – в университете города Монреаль (Канада); в 1996 году – в университете города Сан-Паулу (Бразилия); в 1998 году – в техническом университете города Хайфа и Еврейском университете Иерусалима (Израиль); в 1998 году – в Кембриджском и Лондонском университетах (Великобритания); в 1999 году – в университете Мехико (Мексика) и университете Гонконг (Китай).

Петросяном Л.А. подготовлено 7 докторов и 45 кандидатов наук. Он является председателем двух специализированных Советов по присуждению ученой степени кандидата физико-математических и технических наук по вычислительной математике, математической кибернетике, вычислительным машинам, программированию и др., член редколлегий ряда российских и международных научных журналов, редактор (совместно с В.В. Мазаловым) международного ежегодника «Game Theory and Applications» (Nova Sci. Pbl., N.Y., USA), редактор международного журнала «International Game Theory Review» (World Sci. Pbl., London, Singapore). Член президиума международного общества динамических игр и международного общества теории игр.